ALGORITMO DE LA DIVISION

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

Dados enteros a, b con b  0 existen enteros q y r tales que

a = b q + r   y   0  r  |b|

Al número a se le llama dividendo.

Al número b se le llama divisor.

Al número q se le llama cociente.

Al número r se le llama residuo.

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre 5 tenemos: 19=5x3+4, es decir, que el cociente es 3 y el residuo 4. Se puede observar que el residuo 4 es mayor que 0 y menor que 5 que es el divisor.

Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre 7 tenemos: 23=7x3+2, lo que quiere decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta y en este caso se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Si la división es exacta, se dice que el divisor b divide al dividendo a, y esto se simboliza de la manera siguiente b|a. Lo anterior motiva la siguiente definición.

Un entero a es divisible por un entero b, o b es divisor de a cuando el residuo es cero. Por tanto existe c  Z tal que a=bxc.

9 es divisor de 27 porque: 27 = 3 veces 9.

Se dice entonces que 9|27.

Cuando un entero b no es divisor de un entero a se dice que b no divide a a o que b no es divisor de a y se denota por ba.

Teorema. Todo entero que es divisor de otros es divisor de la suma de ellos.

Sea 7 que divide a 35, 42 y 56. Luego: 35 = 5 veces 7, 42 = 6 veces 7 y 56 = 8 veces 7.

Sumando ordenadamente resulta: 133 = (5 + 6 + 8) veces 7.

Luego 133 = 19 veces 7. Se concluye que 7 divide a 133.

El teorema se demuestra generalizando este resultado. Sea d divisor de A, B, C y sean a, b, c sus cocientes respectivos.

Luego: A = ad, B = bd y C =cd

Se concluye: A + B + C= (a + b + c)d

Lo anterior se puede reescribir de la forma siguiente: Sí dï A, dï B, dï C entonces dï (A + B + C).

Teorema. Todo entero que es divisor de otro es también divisor de los múltiplos de ese otro.

Como 2 divide a 6, luego 2 dividirá a 4x6 = 24.

En efecto: 24 = 6 + 6 + 6 + 6.

Ahora bien: 2 divide a 6, luego dividirá a 4 veces 6, es decir, a 24 utilizando el teorema 2.2.2.

Generalizando, si d|A entonces d|nAcon nZ.

Teorema. Todo entero que es divisor de otros dos, es divisor de su diferencia

Sea 3 que divide a 27 y a 18. Se tiene: 27 = 9 veces 3 y 18 = 6 veces 3. Restando ordenadamente tenemos: 27 - 18 = (9 - 6) veces 3. Luego 9 = 3 veces 3.

Generalizando, si d es divisor de A y B tal que a y b son sus cocientes respectivos, entonces: A = ad y B = bd. Restando ordenadamente se tiene: A -B = (a -b)d.

Lo anterior se puede reescribir en la forma siguiente:

Sí d|A y d|B, luego d|(A - B).

Teorema. Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la división de éstos.

Sea 7 que divide a un dividendo 49 y a un divisor 35. Como el residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.

Generalizando este resultado se tiene:

Sea la división de A entre B con cociente q y residuo r y sea d un entero que es divisor de A y de B, es decir: A = Bq + r con 0 r IBI. Luego A = Bq + r, por el algoritmo de la división. Entonces, r = A - Bq. Como d divide a B, dividirá a Bq. Si divide a A y Bq divide también a su diferencia A - Bq. Luego d divide a r.

 Teorema. Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la diferencia de estos dos números es divisible por el tercero.

Demostración

Sean a y b dos números que divididos por d dan residuo r y cocientes q y q´ respectivamente, o sea:

a = dq + r y b = dq´+ r.

Restando ordenadamente se tiene a - b = d(q - q´). Luego d divide a la diferencia entre a y b.

Este teorema tiene gran importancia cuando se estudia una teoría llamada teoría de congruencias.

El recíproco de este teorema también se cumple, es decir: Si la diferencia de dos números es divisible por un tercero entonces estos números divididos por el tercero dan residuos iguales.