LA IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA COTIDIANA

ECUACIONES: AYUDA PARA RESOLVER PROBLEMAS

Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es convertir el lenguaje coloquial en símbolos matemáticos y viceversa, lo cual muchas veces les impide resolver algunos problemas que se les plantean.

El problema se agrava cuando se presentan los "problemas de aplicación" , ya que muchos de ellos están fuera de su entorno de conocimientos.

La mejor recomendación es la práctica cotidiana; en la medida que los alumnos realizan ejercicios, progresarán en la adquisición del conocimiento.Por lo general, para aplicar conocimientos de matemáticas y poder proponer modelos de solución, los alumnos requieren de conocimientos básicos de otras áreas; este asunto plantea mayor dificultad que el poder despejar una ecuación.

Es importante notar que hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio" .

No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica, evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas, y otra, resolver un problema, dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto.

La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo.

Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora . La tendencia de operar todos los datos presentados, aunque algunos no sirvan, certifica esta falta de comprensión global.

Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo.

Como pauta general para resolver problemas matemáticos, los alumnos deben:

Analizar y comprender el enunciado, para ello deben subrayar las palabras más significativas del mismo, para definir aquellas que dan las órdenes.

Luego expresar el problema en lenguaje simbólico o matemático. Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas. Debemos recordar que en una ecuación la variable puede estar representada por cualquier letra, por costumbre, se usa "x" .

Luego se resuelve la ecuación, se verifican sus resultados y se entrega la respuesta.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS

5 pasos para resolver problemas matemáticos:

1. Identificar un problema de tu entorno que pueda ser tratado como un problema matemático, desde situaciones sencillas, como por ejemplo, medir un objeto, ver cuánto cabe en él, hasta saber calcular el precio de un producto si se aplica un porcentaje de descuento.

2. Identificar el conocimiento matemático necesario para resolver el problema, comenzando por leer bien el problema para comprender de qué o de quién se habla y saber qué operaciones necesitas hacer para resolverlo.

3. Formular un modelo matemático que represente el problema, que pueden ser dibujos, gráficas, barras, fórmulas, etc., en donde se ilustre la información obtenida del problema.

4. Resolver el problema utilizando fórmulas, procedimientos o métodos que ya conoces y que te pueden ayudar a dar solución, planteando varias estrategias diferentes para resolverlo.

5. Interpretar la solución del problema en tu vida cotidiana escribiendo la respuesta siempre como una oración completa donde expreses el resultado obtenido, para que cualquier persona que lo vea lo pueda entender claramente .

EL PAÍS DE LAS MATEMÁTICAS

COMPAÑEROS LES DEJO ESTE VIDEO , EL CUAL PROPORCIONAS UN POCO DE LA HISTORIA Y DONDE MENOS SE IMAGINA HAY MATEMÁTICAS.

TRUCOS MATEMÁTICOS

PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Aplicaciones de Ecuaciones Lineales

(Problemas de por ciento)

Para cambiar de por ciento a decimal solo rodamos el punto decimal dos lugares a la izquierda y viceversa.  Por ejemplo: 9% = 0.09, 25% = 0.25 y 0.85 = 85%.  Para cambiar de por ciento a fracción solo dividimos por 100.  Por ejemplo 92% = 92/100.

(Problemas de Interés)

Si una cantidad de dinero P (Principal) dólares se invierte a un año a una tasa de interés anual R la cantidad de interés anual esta dada por I = PR dólares.  Por ejemplo una suma de $5,000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interés al finalizar el año de 

I = ($5,000)*(0.06) = $300.

(Inversión)

14.)  Un hombre invierte al 8% el doble de la cantidad que destina al 5%.  Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $480.  ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

Solución:

Sea P₁ la cantidad invertida al 5%, y sea P₂ la cantidad invertida al 8%, por lo tanto 

P₂ = 2P₁.  El ingreso de la inversión esta dado por la relación I = PR.  Así que 

Establecemos:

(Ingreso devengado al 5%) + (Ingreso devengado al 8%) = Ingreso Total

P₁R₁ + 2P₁R₂ =  Ingreso Total

Sustituimos los valores y resolvemos para P₁:

P₁(5%) + 2P₁(8%) =  $480

.05P₁ + 2(.08) P₁ = 480

.05 P₁ + .16 P₁ = 480

.21P₁ = 480

P₁ = (480)/(.21)

P₁ = 2,285.71

                           

El hombre invirtió $2,285.71 al 5% y $2,285.71*2 = $4,571.42 al 8%. 

(Inversión)

16.)  Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente.  ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total?

Solución:

Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al 6%.

Establecemos:

(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total

Sustituimos los valores

(9%)P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:

.09P + .06(18,000 − P) = .08*(18,000)

.09P + 1,080 − .06P = 1,440

.09P − .06P = 1,440 − 1,080

.15P = 360

P = (360)/(.15)

P = 2,400

Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600 al 6%.

(Precio de mayoreo)

20.)  Un artículo se vende por $12.  Si la ganancia es de 50% del precio de mayoreo, ¿cuál es el precio de mayoreo? 

Solución:

Sea x el precio del mayoreo.

Establecemos:

(Precio de venta) – (Precio del mayoreo) =  Ganancia

Sustituimos los valores:

$12 − x = (50%)x

Resolvemos para x:

12 – x = .50x

12 = .50x + x

12 = 1.50x

x = (12)/(1.50)

x = 8

El precio de mayoreo del artículo fue $8.

(Venta de automóviles)

31.)  Un vendedor de autos usados compró dos automóviles por $2,900.  Vendió uno con una ganancia de 10% y otro con una pérdida de 5% y aún obtuvo una ganancia de $185 en la transacción completa.  Encuentre el costo de cada automóvil. 

Solución:

Sea x el costo del automóvil con ganancia de 10%.  Por lo tanto, ($2,900 − x) es el costo del automóvil con perdida de 5%.

Establecemos:

(Ganancia del primer automóvil) − (Perdida del segundo automóvil) =  Ganancia Total

Sustituimos los valores y resolvemos para x:

(10%)x − (5%)($2,900 − x) = $185

.10x − .05(2,900 − x) = 185

.10x − .05*2,900 + .05x = 185

.10x  − 145 + .05x = 185

.10x + .05x = 185 + 145

.15x = 330

x = (330/(.15)

x = 2,200

El primer automóvil (el de la ganancia) costó $2,200 y el segundo (el de la perdida)   costó $2,900 − $2,200 = $700.

ECUACION LINEAL EN LA VIDA COTIDIANA

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES

Problema aplicados a la vida diaria:

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?. 

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema. 

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas, e y al de falladas. 

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones: 

El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20 

La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8 

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos: 

De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ; 

sustituyendo en la primera: 

2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ; 

sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 . 

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta. 

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como:

• En señales
• Análisis
• Estimación
• Predicción
• Programación lineal así como la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
• Química
• Economía
• Administración

Métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3x&+y&=&22\\4x&-3y&=&-1\end{matrix}}\right.}$

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita ${\displaystyle y}$ por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

${\displaystyle y=22-3x}$

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita ${\displaystyle y}$ en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle 4x-3(22-3x)=-1\qquad \Rightarrow 4x-66+9x=-1\qquad \Rightarrow 13x-66=-1,\qquad \Rightarrow 13x=65}$

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado ${\displaystyle x=5}$, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos ${\displaystyle y=7}$, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita ${\displaystyle y}$ en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y=&22-3x\\y=&{\cfrac {4x+1}{3}}\end{matrix}}\right.}$

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

${\displaystyle 22-3x={\frac {4x+1}{3}}\Rightarrow \quad \ 3(22-3x)=4x+1\Rightarrow \quad \ 65=13x\Rightarrow \quad \ x=5}$

Una vez obtenido el valor de la incógnita ${\displaystyle x}$, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la ${\displaystyle y}$.

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x&+3y&=5\\5x&+6y&=4\end{matrix}}\right.}$

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por ${\displaystyle -2}$ para poder cancelar la incógnita ${\displaystyle y}$. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

${\displaystyle -2(2x+3y=5)\quad \longrightarrow \quad -4x-6y=-10}$

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ${\displaystyle y}$ ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcr}-4x&-6y&=&-10\\5x&+6y&=&4\\\hline x&&=&-6\end{array}}}$

${\displaystyle x=-6}$

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita ${\displaystyle x}$ en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de ${\displaystyle y}$si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rrcr}2x&+3y&=&5\\x&&=&-6\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 2(-6)+3y=5\quad \longrightarrow \quad y={\frac {17}{3}}}$

Método gráfico

Rectas que pasan por el punto: (2,4)

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión .

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

1. Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en los complejos.