ARITMÉTICA - Multiplicación

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación  es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un número llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es de la unidad.

NOTACIÓN

El producto de dos números se indica con el signo X o con un punto colocado entre los factores, que es el nombre que se da al multiplicando y multiplicador.

Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 ó 6.5.

Cuando los factores son literales o un número y una letra, se suele omitir el signo de multiplicación entre los factores.

Así, el producto de a por b se indica a x b, a.b o simplemente ab.

El producto de 7 por n se indica 7 x n o mejor 7n.

RELACIÓN ENTRE EL PRODUCTO Y EL MULTIPLICANDO

Consideremos cuatro casos:

1.- Si el multiplicador es cero, el producto es cero. Así, 5 x 0 = 0, porque el multiplicador 0 indica la ausencia de la unidad, luego el producto tiene que indicar la ausencia del multiplicando.

2.- Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando. Así, 4 x 1 = 4, porque siendo el multiplicador igual a la unidad, el producto tiene que ser igual al multiplicando.

El número 1 es el único número que multiplicado por otro da un producto igual a este último y por eso se dice que 1 es el módulo de la multiplicación.

3.- Si el multiplicador es > 1, el producto es > el multiplicando. Así, 7 x 6 = 42 > 7, porque siendo 6 > 1, el producto tiene que ser > el multiplicando.

4.- Si el multiplicador es < 1, el producto es < el multiplicando. Así, 8 x 0.5 = 4, porque siendo 0.5 la mitad de la unidad, el producto tiene que ser la mitad del multiplicando.

De lo anterior se deduce que multiplicar no es siempre aumentar.

LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN

Las leyes de la multiplicación son 6: Ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.

EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN

EJERCICIO DE OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACIÓN EN QUE NO HAY SIGNOS DE AGRUPACIÓN

1)      9 + 2 x 3 =

2)      5 x 4 – 2 =

3)      30 – 7 x 3 =

4)      3 x 4 + 5 x 6 =

5)      9 x 3 – 4 x 2 =

6)      15 – 5 x 3 + 4 =

7)      9 + 6 x 4 – 5 =

8)      5 x 7 – 3 + 8 x 2 =

9)      75 – 3 x 4 + 6 – 5 x 3 =

10)  3 x 2 + 7 x 4 – 21 =

11)  5 x 1 + 6 x 2 + 7 x 3 =

12)  24 x 2 – 3 x 5 – 4 x 6 =

13)  49 – 3 x 2 x 5 + 8 – 4 x 2 =

14)  50 + 5 x 6 – 4 – 7 x 2 + 4 =

15)  18 x 3 x 2 – 1 – 5 x 2 x 3 – 9 =

16)  5 x 4 + 3 x 2 – 4 x 3 + 8 x 6 =

17)  300 – 5 x 7 – 8 x 3 – 2 x 6 =

18)  3 x 9 + 4 x 8 – 5 x 3 + 6 – 4 x 2 =

19)  2 x 7 – 5 x 4 + 3 x 6 – 2 x 11 + 13 =

20)  8 – 2 x 2 + 6 + 7 x 3 – 3 x 4 + 16 =

OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACIÓN EN QUE HAY SIGNOS DE AGRUPACIÓN

1)      (6 + 5 + 3)3  =

2)      (3 + 2) (4 + 5) =

3)      (20 – 14)(8 – 6) =

4)      (8 + 5 + 3)(6 – 4) =

5)      (20 – 5 + 2)(16 – 3 + 2 – 1) =

6)      (8 + 6 + 4)2=

7)      (20 – 15 + 30 – 10)5 =

8)      (50 x 6 x 42 x 18)9 =

9)      (5 – 2)3 + 6(4 – 1)=

10)  3(8 – 1) + 4(3 + 2) – 3(5 – 4) =

11)  (7 – 5)4 + 3(4 – 2) + (8 – 2)5 – 2(11 – 10) =

12)  (11 – 4)5 – 4(6 + 2) + 4(5 – 3) – 2(8 – 6) =

13)  (3 + 2)(5 – 1) + (8 – 1)3 – 4(6 – 2) =

14)  (5 – 1)(4 – 2) + (7 – 3)(4 – 1) =

15)  (3 – 2)(4 – 1) + 6(8 – 4) + (7 – 2)(9 – 7)=

16)  3(9 – 2) + 2(5 – 1)(4 + 3) + 3(6 – 4)(8 – 7) =

17)  (8 – 2)3 – 2(5 + 4) + 3(6 – 1) =

18)  300 – 3(5 – 2) + (6 + 1)(9 – 3) +4(8 + 1) =

19)  500 + 6(3 + 1) + (8 – 5)3 – 2(5 + 4) =

20)  6[3 + (5 – 1)2] =

Más sobre la Multiplicación

OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACIÓN EN QUE NO HAY SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Deben efectuarse en este orden: Primero, los productos indicados y luego las sumas o restas.

Ejemplo:

Efectuar  5 + 3 x 4 – 2  x 7.

Efectuamos primero los productos 3 x 4 = 12 y 2 x 7 = 14, y tendremos:  

5 + 3 x 4 – 2 x 7 = 5 + 12 – 14 = 3

OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACIÓN EN QUE HAY SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Deben efectuarse en este orden: Primero, las operaciones encerradas en los paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas.

Ejemplo:

Efectuar (5 + 3)2 + 3(6 – 1).

En la práctica se suele suprimir  el signo x entre un número y un paréntesis o entre dos paréntesis. Así, en este ejemplo, (5 + 3)2 equivale a (5 + 3) x 2 y 3(6 – 1) equivale a 3 x (6 – 1).

Efectuemos primero los paréntesis: (5 + 3) = 8 y (6 – 1) = 5, y tendremos:

(5 + 3)2 + 3(6 – 1) = 8 x 2 + 3 x 5 = 16 + 15 = 31

ÁLGEBRA - Resta de polinomios

Restando Polinomios

Restar polinomios también implica identificar y combinar términos comunes. Recuerda que el signo de resta enfrente de los paréntesis es como el coeficiente de -1. Cuando restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los términos en el segundo polinomio y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema		(15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5)
(15x2 – 9x2) + (12xy – 10xy) + (20 – 5)			Distribuir -1 a los términos en el segundo polinomio, luego reagrupar para que coincidan los términos semejantes
	6x2  + 2xy + 15		Combinar términos semejantes
Solución	6x2  + 2xy + 15

Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la noción de los signos. Sé muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando restas un término negativo.

Ejemplo
Problema		(14x2y  + 3x2  – 5y + 14) – (7x2y  + 5x2  – 8y + 10)
(14x2y + 3x2 – 5y + 14) + (-7x2y – 5x2 + 8y – 10)			Distribuir (-1)
(14x2y – 7x2y) + (3x2 – 5x2) + (-5y + 8y) + (14 – 10)			Reagrupar términos comunes usando la Propiedad Asociativa
7x2y – 2x2 + 3y + 4			Combinar términos comunes
Solución	7x2y – 2x2 + 3y + 4

Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la práctica hacen cada vez más fácil sumar y restar polinomios.

ÁLGEBRA - Suma de polinomios

Suma de Polinomios

Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:

Monomios	Términos	Explicación
3x 14x	semejante	las mismas variables con los mismos exponentes
16xyz2 -5xyz2	semejante	las mismas variables con los mismos exponentes
3x 5y	no semejante	diferentes variables con los mismos exponentes
-3z -3z2	no semejante	las mismas variables con diferentes exponentes

Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por la que podemos hacer esto. Echa un vistazo al ejemplo de abajo para que veas que está bien sumar y restar los coeficientes de los términos comunes:

 

Ejemplo
Problema	(8x2  + 4x + 12) + (2x2  + 7x + 10)
	(8x2 + 2x2) + (4x + 7x) + (12 + 10)		Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa
	10x2 + 11x + 22		Sumar términos comunes
Solución	10x2 + 11x + 22

UN POCO DE HISTORIA SOBRE LOS CUADROS MÁGICOS

HISTORIA

Se dice que el emperador de China Yü estaba en la orilla del río Amarillo cuando una tortuga salió de las aguas. Sobre su caparazón, la tortuga llevaba impresos extraños símbolos, que el emperador se encargó de descifrar. Eran los números del 1 al 9 dispuestos armoniosamente en forma de cuadrado: al sumar los tres números de cada fila, de cada columna o de cada diagonal el resultado era siempre el mismo.

CUADRADO MÁGICO 3

CUADRADO MÁGICO 3

Presentamos dos cuadrados mágicos donde se presentan algunos de los números en el cuadrado y los estudiantes deben trasladar las tarjetas de tal manera que el cuadrado sea mágico.

CUADRADO MÁGICO 2

CUADRADO MÁGICO 2

Resuelve estos dos cuadrados mágicos de tal manera que cada fila, columna y diagonal sea igual a 24.

CUADRO MÁGICO 1

CUADRADO MÁGICO 1

Traemos dos cuadrados mágicos para que los estudiantes encuentren los números que hacen falta de tal manera que cada fila, columna y diagonal sea igual a 36.

CUADROS MÁGICOS

CUADROS MÁGICOS

Los cuadrados mágicos son distribuciones de números en celdas que se disponen formando un cuadrado, de forma que la suma de cualquiera de las filas, de cualquiera de las columnas y de las dos diagonales principales da siempre el mismo resultado. Al número resultante se le denomina "constante o suma mágica". 

El cuadrado mágico más pequeño es el que tiene 9 casillas, de orden 3 o de tamaño 3x3. Para iniciar puedes probar con los siguientes retos matemáticos en los que se pide que trasladen las tarjetas de tal manera que cada fila, cada columna y cada diagonal principal sumen 15.

Problemas para fomentar la creatividad y la imaginación

Canguro Matemático

¿Qué es?

Es un examen internacional para presentar problemas que fomenten la imaginación y la creatividad. No tiene validez directa en el proceso de la OMM pero es un excelente acercamiento al tipo de problemas que te encontrarás.

Descripción de los exámenes que se aplican en México

Los exámenes que se apliquen en las escuelas no tendrán validez oficial para la Olimpiada; su propósito es presentar problemas de matemáticas que fomentan la imaginación y la creatividad. Los exámenes constan de preguntas de opción múltiple, con nivel creciente de dificultad. Las preguntas de la primera tercera parte tienen un valor, cada una, de 3 puntos; las preguntas en el segundo tercio valen 4 puntos cada una, y para cada una de las preguntas del último tercio el valor es de 5 puntos. Es importante señalar que, por el tipo de examen de que se trata en que algunas preguntas tienen un grado elevado de dificultad, hay poco tiempo para resolverlo y no se califica el razonamiento empleado para llegar a la respuesta (y por tanto, un error mínimo puede llevar a una respuesta incorrecta aunque el alumno sepa bien como resolverla), el obtener la mitad del puntaje total posible se considera bastante bueno. Los niveles que se aplican en México son:

• Escolar. Para alumnos de 10 a 12 años (fin de la Primaria). El examen consta de 12 preguntas a resolver en 1 hora.
• Benjamín. Para alumnos de 12 a 14 años (1o. y 2o. de Secundaria). El examen consta de 12 preguntas, a resolver en una hora.
• Cadete. Para alumnos de 14 a 17 años. éste podrá decirse que es el nivel precursor de la Olimpiada, puesto que corresponde a alumnos desde 3o de Secundaria hasta 2o de Preparatoria. Para este nivel se manejan dos versiones: Una con 12 preguntas para resolver en una hora, y otra con 30 preguntas (llamado examen eliminatorio) para resolver en tres horas. Los Delegados que así lo deseen aplicarán este examen como Primera Fase del Concurso Estatal A los Delegados que decidan usar esta opción se les sugiere enviar a las escuelas un examen de práctica previo que puede ser cualquiera de los exámenes Canguro de años pasados.
• Estudiante. Para alumnos a partir de los 17 años (de 3o. de Preparatoria a primeros años de nivel profesional). El examen consta de 12 preguntas, a resolver en una hora.

Dentro de esta página presentamos todos los exámenes de los anteriores exámenes con sus soluciones completas.

http://ichi.fismat.umich.mx/omm/recursos/canguro/previos/