MULTIPLICACION Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

FRACCIONES EQUIVALENTES

DIVISIÓN CON DECIMALES

Dividir un número decimal entre un número entero

Se dividen como si fuesen enteros.

En la división al bajar el primer número decimal, se escribe la coma en el cociente.

Vamos a ver un ejemplo, dividiendo 77,5 entre 25

77 entre 25 es igual a 3.

3 x 5 = 15, al 7 van 2 y me llevo 1.

3 x 2 = 6 y una que me llevaba, son 7. Por lo tanto, al 7 son 0.

Ahora bajamos la siguiente cifra. Como el 5 es el primer número decimal, escribiremos la coma en el cociente. Y dividimos, 25 entre 25, que es igual a 1.

1 x 25 = 25, al 25 van 0.

El resultado de esta división de número decimal entre número entero es: 3,1 y el resto 0

Dividir un número entero entre un número decimal

Por ejemplo, vamos a dividir 278 entre 3,6

Debido a que no se puede hacer una división con un divisor decimal, lo primero que haremos es transformar nuestro divisor en un número entero (3,6 => 36). Para ello, hay que hacer dos cosas:

Multiplicar el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales queramos eliminar (3,6 x 10 = 36).

Multiplicar el dividendo por el mismo número que hayamos multiplicado el divisor (278 x 10 = 2780).

Haciendo estas dos cosas lo que obtenemos es una división equivalente por la cual obtendremos el mismo cociente.

Ejemplo de entero entre decimal

Divisiones con números decimales

Es decir, ahora tenemos que dividir 2780 entre 36.

278 entre 36, que es igual a 7.

7 x 6 = 42, al 48 van 6 y me llevo 4.

7 x 3 = 21 y 4 que me llevaba son 25, al 27 son 2.

Ahora bajamos el 0, por lo que dividimos 260 entre 36, que es igual a 7.

7 x 6 = 42, al 50 van 8 y nos llevamos 5.

7 x 3 = 21 más 5 que nos llevábamos son 26, al 26 van 0.

El resultado de la división es 77 y de resto 8.

Debemos tener en cuenta que como hemos multiplicado el dividendo y el divisor por un mismo número (el 10 en este ejemplo), el cociente no sufre variación pero sin embargo el resto sí, ya que también ha quedado multiplicado por ese mismo número. Por tanto debemos dividir 8 entre 10 para obtener el resto de la división original (8/10 = 0,8).

Por tanto, quedaría una tercera cosa por hacer:

Dividir el resto  por el mismo número que hayamos multiplicado el divisor  (8 /10 = 0,8).

El resultado de esta división de número entero entre número decimal es 77 y resto 0,8

Dividir un número decimal entre un número decimal

Por ejemplo, vamos a dividir 278,1 entre 2,52

De nuevo debemos transformar nuestro divisor en un número entero, para ellos seguimos las mismas pautas que en el ejemplo anterior. En este caso hay dos decimales en el divisor, por lo que debemos multiplicarlo por 100 (2,52 x 100 = 252) y multiplicar por el mismo número el dividendo (278,1 x 100 = 27810)

De esta forma la división 278,1 / 2,52 se convertirá en 27810 / 252 después de multiplicar ambos números por 100.

Ahora dividimos 27810 entre 252.

278 entre 252 es igual a 1.

1 x 2 = 2, al 8 van 6.

1 x 5 = 5, al 7 van 2.

1 x 2 = 2, al 2 van 0.

Bajamos el siguiente número que es un 1, por lo que ahora tenemos que dividir 261 entre 252, que es 1.

1 x 2 = 2, al 11 van 9 y me llevo 1.

1 x 5 = 5, y 1 que me llevaba son 6, al 6 van 0.

1 x 2 = 2, al 2 van 0.

Bajamos el siguiente número que es un 0, por lo que ahora tenemos que dividir 90 entre 252. Como 90 es más pequeño que 252, tenemos que escribir 0 en el cociente y bajar la cifra siguiente. Como no hay más cifras, ya hemos terminado de realizar la división. Y el resultado sería 110 y de resto 90.

Pero como en el ejemplo anterior, el resto obtenido ha quedado multiplicado por el mismo número que dividendo y divisor y, para obtener el resto de nuestra división de origen, debemos dividirlo entre dicho número (90 / 100 = 0,9)

El resultado de esta división de número decimal entre número decimal es 110 y de resto 0,9

Ahora vamos a ver cómo acabar las divisiones hasta conseguir que el resto sea cero

En cualquier división, si al terminarla nos ha quedado resto y queremos llegar a que el resto sea cero, escribimos una coma en el cociente y añadimos un cero en el dividendo. Si el resto sigue sin ser cero, habrá que ir añadiendo ceros en el dividendo.

Vamos a ver un ejemplo de sacar decimales, dividiendo 33 entre 6.

33 entre 6 es igual a 5.

5 x 6 = 30, al 33 van 3.

Nos quedaríamos con un resto de 3. Por lo que si queremos añadir decimales, tenemos que poner una coma en el cociente, detrás del 5 y añadimos un cero al resto. Ahora tendríamos que dividir 30 entre 6, que es igual a 5.

5 x 6 = 30, al 30 van 0.

Y el resultado de 33 entre 6 es igual a 5,5.

ALGORITMO DE LA RESTA

La resta es una operación que se compone de las siguientes partes:

135    –     89    =     46                Minuendo   -   Sustraendo = Resta o diferencia       Cuando las unidades del minuendo son menores que las del sustraendo, se pueden desarrollar los números para que las unidades sean mayores que los del sustraendo. Consideremos el siguiente ejemplo: _ 190   Como en 190 no hay unidades -a cero no le puedo restar 6-, debemos pasar una decena al lugar de las unidades.    36   Anotándolo  en forma desarrollada, podemos escribir: _ 1 9 0 = 1 8 0 + 1 0 3 6 = 3 0 + 6 Entonces:  _ 1 8 0    3 0  1 5 0 _ 1 0 6 4  El resultado es:      150 + 4 = 154 _ 190      36    154 Para comprobar si la resta es correcta, sumamos la diferencia con el sustraendo. Si el resultado es igual al minuendo, la operación es correcta. Observa el ejemplo: _ 190      36    154 --minuendo --sustraendo --diferencia +  36   154   190

ALGORITMO DE LA SUMA

Algoritmo de la adición.

El algoritmo para sumar números de más de dos cifras es como sigue:

Se alinean por la derecha los números a sumar, ordenando las cifras en columnas, empezando por las cifras de primer orden. Colocando el de mayor cantidad de cifras encima del que tiene menor cantidad de cifras.

Se suman las cifras de primer orden, haciendo uso de la tabla de la suma o mentalmente. Si el resultado es un número de más de dos cifras, entonces se coloca la cifra de primer orden del resultado debajo de las cifras de primer orden, y las cifras que quedan formarán un nuevo número que se sumará con las cifras de segundo orden. El nuevo número formado por las cifras sobrantes del resultado de sumar las cifras de primer orden, se le conoce como acarreo.

Se suman las cifras de segundo orden más el acarreo, si el resultado es un número con más de dos cifras, se procede igual que el paso anterior pero colocando el acarreo, encima de las cifras de tercer orden. El procedimiento se repite hasta terminar de sumar todas las cifras.

Ejemplo.

Se sumaran los siguientes números 4567 + 848.

Alineamos los números por la derecha.

Se suman las cifras de primer orden, 7+8=15, el acarreo es el 1 cifra de segundo orden del resultado.

Se suman las cifras de segundo orden más el acarreo. 1+6+4=11, el acarreo para la siguiente suma es 1.

Se suman las cifras de tercer orden más el acarreo. 5+8+1=14, el acarreo para la siguiente suma es 1.

Se suma las cifras de cuarto orden más el acarreo. 4+1=5. Al no haber más cifras que sumar el algoritmo termina.

DIVISION CON NUMEROS DECIMALES

ALGORITMO DE LA DIVISION

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

Dados enteros a, b con b  0 existen enteros q y r tales que

a = b q + r   y   0  r  |b|

Al número a se le llama dividendo.

Al número b se le llama divisor.

Al número q se le llama cociente.

Al número r se le llama residuo.

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre 5 tenemos: 19=5x3+4, es decir, que el cociente es 3 y el residuo 4. Se puede observar que el residuo 4 es mayor que 0 y menor que 5 que es el divisor.

Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre 7 tenemos: 23=7x3+2, lo que quiere decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta y en este caso se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Si la división es exacta, se dice que el divisor b divide al dividendo a, y esto se simboliza de la manera siguiente b|a. Lo anterior motiva la siguiente definición.

Un entero a es divisible por un entero b, o b es divisor de a cuando el residuo es cero. Por tanto existe c  Z tal que a=bxc.

9 es divisor de 27 porque: 27 = 3 veces 9.

Se dice entonces que 9|27.

Cuando un entero b no es divisor de un entero a se dice que b no divide a a o que b no es divisor de a y se denota por ba.

Teorema. Todo entero que es divisor de otros es divisor de la suma de ellos.

Sea 7 que divide a 35, 42 y 56. Luego: 35 = 5 veces 7, 42 = 6 veces 7 y 56 = 8 veces 7.

Sumando ordenadamente resulta: 133 = (5 + 6 + 8) veces 7.

Luego 133 = 19 veces 7. Se concluye que 7 divide a 133.

El teorema se demuestra generalizando este resultado. Sea d divisor de A, B, C y sean a, b, c sus cocientes respectivos.

Luego: A = ad, B = bd y C =cd

Se concluye: A + B + C= (a + b + c)d

Lo anterior se puede reescribir de la forma siguiente: Sí dï A, dï B, dï C entonces dï (A + B + C).

Teorema. Todo entero que es divisor de otro es también divisor de los múltiplos de ese otro.

Como 2 divide a 6, luego 2 dividirá a 4x6 = 24.

En efecto: 24 = 6 + 6 + 6 + 6.

Ahora bien: 2 divide a 6, luego dividirá a 4 veces 6, es decir, a 24 utilizando el teorema 2.2.2.

Generalizando, si d|A entonces d|nAcon nZ.

Teorema. Todo entero que es divisor de otros dos, es divisor de su diferencia

Sea 3 que divide a 27 y a 18. Se tiene: 27 = 9 veces 3 y 18 = 6 veces 3. Restando ordenadamente tenemos: 27 - 18 = (9 - 6) veces 3. Luego 9 = 3 veces 3.

Generalizando, si d es divisor de A y B tal que a y b son sus cocientes respectivos, entonces: A = ad y B = bd. Restando ordenadamente se tiene: A -B = (a -b)d.

Lo anterior se puede reescribir en la forma siguiente:

Sí d|A y d|B, luego d|(A - B).

Teorema. Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la división de éstos.

Sea 7 que divide a un dividendo 49 y a un divisor 35. Como el residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.

Generalizando este resultado se tiene:

Sea la división de A entre B con cociente q y residuo r y sea d un entero que es divisor de A y de B, es decir: A = Bq + r con 0 r IBI. Luego A = Bq + r, por el algoritmo de la división. Entonces, r = A - Bq. Como d divide a B, dividirá a Bq. Si divide a A y Bq divide también a su diferencia A - Bq. Luego d divide a r.

 Teorema. Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la diferencia de estos dos números es divisible por el tercero.

Demostración

Sean a y b dos números que divididos por d dan residuo r y cocientes q y q´ respectivamente, o sea:

a = dq + r y b = dq´+ r.

Restando ordenadamente se tiene a - b = d(q - q´). Luego d divide a la diferencia entre a y b.

Este teorema tiene gran importancia cuando se estudia una teoría llamada teoría de congruencias.

El recíproco de este teorema también se cumple, es decir: Si la diferencia de dos números es divisible por un tercero entonces estos números divididos por el tercero dan residuos iguales.

ALGORITMO MULTIPLICATIVO

Algoritmo de multiplicación

Un algoritmo (del latín, dixit algorithmus) es un conjunto de reglas ordenadas donde se especifica una sucesión de operaciones y pasos necesarios para solucionar cualquier tipo de problema. Dado entonces un estado inicial y una entrada y aplicando los pasos sucesivos se llegará a un estado final y con esto hallaremos la solución.

Los algoritmos son entonces modos de resolución de problemas, es importante aclarar que no sólo son aplicables a la actividad intelectual, sino también a todo tipo de problemas relacionados en la vida cotidiana, por ejemplo los manuales de usuario que muestran algoritmos para utilizar un aparato. En matemáticas podemos hacer referencia a algunos algoritmos como el método de Gauss para resolver problemas lineales de ecuaciones o el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor, entre otros.

Un algoritmo de multiplicación es un algoritmo (o procedimiento) para multiplicar dos números. Dependiendo del tamaño de los números, existen diversos algoritmos. Los algoritmos de multiplicación existen desde la llegada del sistema decimal que es el sistema de numeración posicional en el que las cantidades son representadas utilizando como base el número diez, por lo cual se dispone de diez cifras diferentes del 0 al 9.

Veamos ahora la secuencia de pasos para un algoritmo de multiplicación:

En primer lugar escribimos los dígitos por multiplicar: 4 x 4

Luego los sumamos 4 + 4 = 8

AI resultado se le vuelve a sumar 4, seria 8 + 4 = 12. A este nuevo resultado le volvemos a sumar nuevamente 4, entonces 12 + 4. El resultado es de 16.

Todos estos pasos se deben seguir para poder realizar una multiplicación; los pasos se pueden simplificar siempre y cuando sigan el mismo orden.

Los algoritmos deben formularse de manera gráfica para una mejor comprensión, a este tipo de grafica se le conoce como diagrama de flujo del algoritmo, el anterior se enunciaría de la siguiente forma:

Inicio

4 + 4

8 + 4

12 + 4

=16

El método que utilizamos usualmente para multiplicar dos números enteros, requiere el conocimiento de las tablas de multiplicar. La multiplicación se debe empezar desde la derecha, teniendo siempre cuidado con la ley de los signos y también con colocar las unidades de un orden bajo las unidades del mismo orden, esto quiere decir unidades bajo unidades, decenas bajo decenas, centenas bajo centenas, etc… Luego se proceden a sumar los productos de cada cifra del segundo factor por todas las del primero.

A PASO DE TORTUGA

Calidad de la educación en México, de las más bajas en el mundo.

La calidad de la educación en México ocupa uno de los últimos lugares de un listado de 124 países, lo que dificulta el desarrollo de una fuerza de trabajo sana, educada y productiva, según el Reporte de Capital Humano 2015 elaborado por el Foro Económico Mundial (WEF, por sus siglas en inglés).

Según la investigación, México se ubica en el sitio 102 de 124 en calidad de educación primaria, es decir, aquella que reciben los menores de 15 años, y donde Finlandia ocupa el primer lugar.

Para el grupo de entre 15 y 24 años de edad, la calidad del sistema de educación se ubica en el sitio 107, lo que deriva en que el país se ubique en el sitio 63 en las oportunidades para ese sector poblacional.

En general, en el Índice de Capital Humano, México se ubica en el lugar 58 de 124 países, es decir, a la mitad de la tabla en el valor económico que tiene un empleado por sus habilidades y la capacidad de la población para impulsar el crecimiento económico, entre otras.

El rezago educativo es uno de los principales retos que México enfrenta, porque el promedio de educación es de 8.6 años, estableció el Centro de Estudios Sociales y de Opinión Pública (Cesop) de la Cámara de Diputados.

De acuerdo con el análisis “Rezago educativo y brecha digital’’, en la Ciudad de México el promedio educativo es de 10.5 años, mientras que en Chiapas es de 6.7 años y representa un nivel semejante al de Paquistán o Sierra Leona.

Según el reporte “Educación para todos en el mundo 2015”, de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura, México ocupa el lugar 49 en rezago educativo en el orbe, por debajo de naciones como Cuba, Uruguay y Estados Unidos, cita el estudio.

Para la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE), abunda, una de las causas principales del bajo rendimiento escolar se debe al ausentismo docente en los centros escolares, que es de 17%, mientras que en los países miembros es de 14 por ciento.

Refiere además que según la prueba PISA (prueba de evaluación educativa que desde el 2000 se realiza en México por la OCDE), más de 1 millón de niños de educación básica presenta bajas calificaciones en alguna de las áreas de la prueba, de los cuales poco más de 500,000 tienen problemas de bajo rendimiento en los tres rubros: ciencia, matemáticas y lengua.

El Sistema de Información de Tendencias Educativas de América Latina indica, por su parte, que México se encuentra en una posición intermedia en cuanto a su tasa neta de escolarización en secundaria, pero en una posición inferior a países como Argentina, Chile y Venezuela y más cercana a los países centroamericanos.

Con base en un informe publicado por la Dirección General de Divulgación de la Ciencia de la Universidad Nacional Autónoma de México el Cesop refiere también que desde el 2005 el número absoluto de personas en rezago escolar no ha variado mucho.

“El rezago educativo incluye desde el analfabetismo hasta personas que hayan truncado sus estudios de preescolar, primaria o secundaria”, precisa.

Finalmente, explica que sólo si se compara con países de África y Asia, México se encuentra en mejor posición.

PONIÉNDONOS A PENSAR

¿Valiéndose de las operaciones matemáticas que gustes, pero solo 4 números 4 puedes llegar a obtener como resultado el numero 1?

Respuesta: (4/4) + 4 - 4 = 1

Buscamos como resultado el número 24, pero esta vez podrás usar únicamente tres números 3 y las operaciones matemáticas que quieras.

Respuesta: elevando al cubo (3) un 3 "ya van dos números 3"; y luego restarle al 27 otro 3.

En una cafetería se tiene que hay cuatro medios panes y dos panes y medio, entonces cuantos medios panes hay.

Respuesta: 9 medios panes.

Se tiene 1 caja grande, con cuatro cajas medianas dentro, tres cajas chicas dentro de cada mediana y 2 cajas pequeñas dentro de cada chica.

Puedes decir cuál es el número completo de cajas de regalo que se tienen.

Respuesta: 29 cajas.

¿Podrías encontrar tres números iguales para que al sumar se tenga como resultado el numero 60?

Respuesta: el 5, porque 55+5=60

EVALUACION

Las tareas del profesor

La participación del profesor es fundamental en esta propuesta didáctica. La actividad central del profesor de matemáticas comprende los siguientes aspectos:

• Le corresponde seleccionar y en su caso adecuar los problemas y actividades que propondrá a los alumnos.

• Plantea los problemas.

• Organiza y coordina el trabajo en el aula.

• Propone nuevos problemas o contraejemplos, es decir, problemas que contradigan las hipótesis de los estudiantes, favoreciendo la reflexión y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos.

• Contribuye a aclarar confusiones.

• Promueve y coordina la discusión sobre las ideas que tienen los estudiantes acerca de las situaciones que se plantean, mediante preguntas que les permitan conocer el porqué de sus respuestas.

• Participa como fuente de información y para vincular los conceptos y procedimientos propios de los estudiantes con el lenguaje convencional y formal.

El profesor debe considerar que su papel no se limita a coordinar la actividad de los estudiantes. Respetando la actividad y creatividad de éstos debe intervenir con sus orientaciones, explicaciones y ejemplos ilustrativos cuando así lo requiera el avance del grupo. Éste es uno de los momentos más difíciles de su quehacer docente, pues, con base en su experiencia, debe intervenir en el momento oportuno de tal manera que no sustituya el trabajo de los alumnos.

Selección de las actividades

El profesor, elige y organiza las actividades para cada sesión y el curso en general en la forma que considere más conveniente para propiciar el aprendizaje de los estudiantes. Para ello podrá apoyarse en su propia experiencia, en las sugerencias aquí contenidas, en la Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria, en el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, en los videos, en los libros de texto, etcétera.

Es conveniente que el profesor al seleccionar las actividades y problemas para la clase considere las otras asignaturas que se imparten en la educación secundaria, como Física, Química, Biología y las diversas ciencias sociales. Estas materias requieren del apoyo de las matemáticas y al mismo tiempo son una fuente rica de problemas y actividades que servirán al profesor para mostrar a los alumnos las aplicaciones de las matemáticas y sus relaciones con otras disciplinas.

Es fundamental que antes de proponer un problema a los estudiantes, el profesor busque distintas maneras de resolverlo, de esta manera podrá anticipar los posibles procedimientos de los estudiantes. Esto le dará también la posibilidad de prever algunos errores y reflexionar acerca de qué preguntas hacer o qué situación plantear para ayudar a sus alumnos durante la clase.

Organización de la clase

Es recomendable que el profesor elabore un plan de clase, el que contendrá solamente información útil y necesaria, a la cual pueda recurrir durante el desarrollo de la sesión.

A continuación se muestra un esquema de un plan de clase.

Plan de clase

Nombre de la escuela:                                                                                                               Fecha:

Nombre del profesor:

Propósito:

Actividad:

Observaciones:

El plan de clase debe contener el registro preciso de las situaciones problemáticas que se plantearán. Cuando se trata de un problema tomado de este libro o del fichero de actividades didácticas, bastará con anotar la referencia o lo que el profesor considere necesario para llevarla a cabo, pero cuando no se trate de un problema seleccionado de los materiales de apoyo, es necesario anotarlo con el fin de enriquecer el repertorio de actividades y tener presente cómo funcionaron al ser presentados a los alumnos. En ciertos casos conviene registrar textualmente las indicaciones o consignas que el profesor dará a los alumnos para evitar imprecisiones o términos que confundan o agregar palabras que orienten la resolución.

En Propósito se incluyen los recursos que se espera que utilicen los alumnos para resolver los problemas.

En el rubro Observaciones el profesor describe brevemente, después de la clase, qué tan interesante resultó la actividad o problema que propuso y por qué, con lo cual se tiene una evaluación del mismo y la posibilidad de mejorarlo.

Organización del curso

Durante todo el ciclo escolar deben usarse y practicarse constantemente:

• Los procedimientos de cálculo, incluido el cálculo mental y la estimación de resultados.

• La iniciación gradual al razonamiento deductivo.

• Los trazos y construcciones geométricas, al principio utilizando todos los instrumentos de dibujo y medida y, más adelante, con la restricción en algunos casos de sólo utilizar regla sin graduar y compás.

• El uso de los diferentes medios de expresión matemática en la resolución de problemas: lenguaje simbólico, tablas y representaciones gráficas.

• El uso de la calculadora como recurso didáctico en la resolución de problemas.

En muchos cursos de matemáticas, el estudio de ciertos temas importantes es breve, de tal manera que los estudiantes no tienen más adelante la oportunidad de revisarlos y enriquecerlos, y se ven obligados a asimilar mucha información en poco tiempo. Las investigaciones en educación matemática muestran, por el contrario, que la apropiación de las nociones y procedimientos matemáticos es un proceso gradual, en el que los nuevos conocimientos se vinculan estrechamente con lo que ya se sabe, de manera que estos saberes se fortalecen, se amplían o se sustituyen. Por ejemplo, el conocimiento de los números negativos amplía las posibilidades de la sustracción, en el caso en que el minuendo es menor que el sustraendo; el conocimiento de las ecuaciones fortalece el cálculo aritmético y la multiplicación con fracciones sustituye la idea de que el producto siempre es mayor que cualquiera de los factores.

Entonces, es importante que en la planeación del curso de matemáticas el profesor ofrezca a los estudiantes la oportunidad de estar en contacto frecuente con las nociones y procedimientos básicos, en situaciones que les permitan utilizar los conocimientos anteriores, a medida que progresa gradualmente hacia conocimientos más avanzados. El profesor dispone de una buena propuesta para organizar su curso en la Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria. Cuando sea necesario revisar algún tema, en lugar de repetir mecánicamente explicaciones y actividades conocidas por los estudiantes, será preferible recordar brevemente las nociones principales y proponer problemas que las enriquezcan. En los materiales de apoyo, el profesor dispone de una buena cantidad de problemas que pueden dar lugar a actividades interesantes para los estudiantes, al mismo tiempo que favorecen la comprensión de las nociones básicas y la práctica de los procedimientos.

El trabajo colegiado

Dado que no todos los profesores de matemáticas imparten el curso en los tres grados escolares, es necesario asumir la responsabilidad de la educación de los estudiantes como un trabajo colegiado. El trabajo del profesor de cada uno de los tres grados repercute en el proceso global de formación de los alumnos.

En ocasiones la falta de comunicación entre profesores ocasiona que se planteen situaciones repetidas a los mismos alumnos en grados distintos, lo cual puede mermar el interés de ellos por el estudio de las matemáticas; por otra parte, conviene llevar un control y seguimiento del grado de dificultad de los problemas que se estudian a lo largo de la educación secundaria.

La evaluación

Significado de la evaluación

La evaluación es uno de los aspectos más complejos, tanto por la naturaleza misma del proceso de evaluación, como por sus implicaciones en el proceso de estudio y para los estudiantes.

Tradicionalmente las matemáticas han sido una asignatura con un alto grado de reprobación en todos los niveles educativos, esto ha dado como resultado que muchos estudiantes trunquen sus estudios o pasen por un periodo de frustración en algún momento de su vida escolar. Esta situación hace necesaria la reflexión acerca del sentido y los propósitos de la evaluación y qué es lo que el profesor debe realmente evaluar en sus alumnos.

El término evaluación es reciente en la educación. Se introdujo, entre otros propósitos para destacar el hecho de que, con frecuencia, la información que proporcionan los exámenes es insuficiente para conocer los resultados del aprendizaje y tomar decisiones adecuadas sobre los procesos de enseñanza. Desafortunadamente, el término se volvió sinónimo de calificación y examen, tanto para alumnos como para el profesor, y ha provocado la actitud poco conveniente de estudiar para acreditar un examen.

El proceso de evaluación continúa

La evaluación es un proceso continuo que se desarrolla a lo largo de todo el ciclo escolar. Su objetivo es recoger información que le sea útil al profesor para mejorar el desempeño de los alumnos y ajustar las actividades de estudio a las necesidades de aprendizaje de los mismos, así como para tratar de mejorar la práctica docente del profesor. En este sentido, es importante que la evaluación no consista únicamente en la aplicación de uno o varios exámenes localizados en momentos fijos del curso, sino que el profesor observe constantemente el desarrollo de las actividades en clase y la participación de los estudiantes en ellas. La información recabada permitirá mejorar, a tiempo, todos los factores que intervienen en el proceso didáctico.

Coherencia de la evaluación con los propósitos y el enfoque didáctico

Es común que los profesores de matemáticas argumenten que el estudio de esta asignatura es de gran utilidad para los alumnos, porque les proporciona elementos para resolver problemas de la vida cotidiana y desarrolla sus habilidades para pensar y razonar lógicamente. Esta postura resulta contradictoria si la evaluación del aprendizaje se limita a la aplicación de exámenes cada cierto periodo de tiempo que muchas veces sólo miden conocimientos aislados y no dan cuenta del proceso de desarrollo de habilidades y, sobre todo, las dificultades que obstaculizan dicho desarrollo.

Tanto el proceso como las formas de evaluación deben ser coherentes con los contenidos, propósitos y enfoque señalados en el Plan y programas de estudio.

Educación básica. Secundaria, por ello es necesario que al diseñar su proceso de evaluación, el profesor contemple actividades que le permitan recoger información de fuentes muy diversas, como pueden ser los exámenes escritos, los registros de observación en clase, los ensayos y exposiciones, pequeños cuestionarios respecto a tal o cual punto del programa, etcétera.

Es poco congruente que mientras el proceso de estudio tiene entre sus propósitos, promover actitudes, fomentar el trabajo en grupo y desarrollar la habilidad de los alumnos para producir, comunicar y validar conjeturas —o bien busca desarrollar habilidades para comprender, interpretar y valorar ideas matemáticas presentadas en diversas formas—, la evaluación se reduzca a exámenes escritos de aplicación individual, que si bien ayudan a evaluar algunos desempeños, no permiten observar aspectos como los anteriores.

Exámenes escritos individuales

Para obtener información sobre determinados aprendizajes, algunas veces es útil recurrir a la aplicación de exámenes escritos individuales. A continuación se dan algunas sugerencias generales sobre la elaboración de este tipo de exámenes:

• Los exámenes escritos deberán elaborarse a partir de los conocimientos comunes exigibles a todos los estudiantes, procurando no darle un peso exagerado a las definiciones y los significados de ciertos vocablos. En lugar de proponer muchas preguntas, es preferible distinguir lo esencial de lo accesorio o menos importante y elaborar cuestionarios más breves.

• Tampoco conviene evaluar temas importantes en un solo examen. Es preferible que un mismo tema aparezca en varios exámenes, pues así el profesor observará cómo progresa su adquisición durante el año.

• Cuando el profesor lo considere conveniente permitirá el uso de las calculadoras en los exámenes.

Finalmente, es recomendable no abusar de las preguntas de opción múltiple u otras similares. Aunque este tipo de preguntas pueden ser útiles en ocasiones y facilitar la calificación de los exámenes, su uso irreflexivo en los últimos años ha contribuido a empobrecer la enseñanza. Su inconveniente más grave es, quizá, que ocultan información valiosa para el profesor.

Al calificar un examen se debe tener en cuenta que no se trata solamente de contar el número de aciertos para asignar una calificación, sino de valorar las respuestas, es decir, revisarlas con cuidado para enterarse de los diferentes tipos de respuestas correctas que aparecen, así como de los errores más comunes. Este análisis servirá también para evaluar si las preguntas fueron las adecuadas. En particular, un análisis cuidadoso de los errores más frecuentes permitirá al profesor detectar dónde se encuentran las dificultades y diseñar actividades que ayuden a resolverlas.

La información obtenida en el proceso de evaluación deberá revertirse permanentemente a los estudiantes no sólo como una calificación, sino con la intención de que sean conscientes de sus propios aprendizajes, de sus logros y limitaciones. Junto con esto, es necesario que los estudiantes reciban las sugerencias necesarias para mejorar su aprendizaje.

Es importante que la calificación de los estudiantes no dependa solamente del resultado de uno o varios exámenes por escrito. Por el contrario, deberán tomarse en cuenta sus participaciones en clase y las informaciones recogidas por medio de otras fuentes diseñadas con este propósito.