El teorema de Pitágoras

Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitágoras. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. Partiendo de un triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.

En la figura 2, el área del cuadrado grande es (a+b)². Pero la figura 2 se descompone en 4 triángulos y un cuadrado más pegueño. El área que obtenemos sumando las cinco partes es c²+4(ab/2) = c²+2ab. De aquí obtenemos que (a+b)² = c²+2ab; es decir, a²+2ab+b² = c²+2ab, y simplificando a²+b² = c². (q.e.d.)

Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes. El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º.

Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triágulo rectangulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...

Existe una cantidad muy numerosa de demostraciones del teorema de Pitágoras, pero quizás la más famosa es la que aparece en "Los Elementos" de Euclides. La idea es dividir el cuadrado mayor en dos partes de forma que cada parte sea igual al área de uno de los cuadrados pequeños. Demostraremos primero que el área del rectangulo amarillo (A'A''BM) es igual al área del cuadrado amarillo (ABPQ). Comencemos viendo que los triángulos ABM y CBP son congruentes (iguales). Espero y les sirva compañeros saludos.